Задание 4 ЕГЭ по физике · задача B86809
Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью 400 Н/м, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо первой пружины, чтобы период свободных колебаний этого груза стал в 2 раза меньше?
Показать ответ и разбор
Ответ: 1600 Н/м
Разбор
Период свободных колебаний груза на пружине определяется формулой $T = 2\pi \sqrt{m/k}$, где m — масса груза, k — жёсткость пружины. Эта формула следует из второго закона Ньютона и закона Гука для упругой силы.
Для первой пружины: $T_{1} = 2\pi \sqrt{m / 400}$.
Нам нужно, чтобы новый период стал в два раза меньше: $T_{2} = T_{1} / 2$. Подставляем формулу для $T_{2}$:
$2\pi \sqrt{m / k_{2}} = (1/2) \cdot 2\pi \sqrt{m / 400}$.
Сокращаем $2\pi$ и получаем $\sqrt{m / k_{2}} = (1/2) \sqrt{m / 400}$. Возводим обе части в квадрат:
$m / k_{2} = m / (4 \cdot 400)$.
Масса m сокращается, поэтому $k_{2} = 1600$ Н/м. Жёсткость нужно увеличить в четыре раза, потому что период обратно пропорционален квадратному корню из жёсткости.
Для первой пружины: $T_{1} = 2\pi \sqrt{m / 400}$.
Нам нужно, чтобы новый период стал в два раза меньше: $T_{2} = T_{1} / 2$. Подставляем формулу для $T_{2}$:
$2\pi \sqrt{m / k_{2}} = (1/2) \cdot 2\pi \sqrt{m / 400}$.
Сокращаем $2\pi$ и получаем $\sqrt{m / k_{2}} = (1/2) \sqrt{m / 400}$. Возводим обе части в квадрат:
$m / k_{2} = m / (4 \cdot 400)$.
Масса m сокращается, поэтому $k_{2} = 1600$ Н/м. Жёсткость нужно увеличить в четыре раза, потому что период обратно пропорционален квадратному корню из жёсткости.